微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11

化简每一项。

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解题步骤 11.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt[3]{512 + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11.2

将 $512$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt[3]{513} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11.3

将 $513$ 重写为 $3^{3} \cdot 19$ 。

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解题步骤 11.3.1

从 $513$ 中分解出因数 $27$ 。

$\sqrt[3]{27 (19)} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11.3.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11.4

从根式下提出各项。

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

解题步骤 11.5

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4096 + 1}$

解题步骤 11.6

将 $4096$ 和 $1$ 相加。

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

小数形式：

$0.00471670 \dots$

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