微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

解题步骤 2.1.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 \frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ 。

$2 {(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

解题步骤 5.3

将 $\sec (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

解题步骤 5.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (0)}$ 。

$2 {(1 \cos (0))}^{2}$

解题步骤 5.5

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos^{2} (0)$

解题步骤 5.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1^{2}$

解题步骤 5.7

一的任意次幂都为一。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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