微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1.2

将 $\sin (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\cos (5 x)}$ 转换成 $\sec (5 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sec (5 x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

解题步骤 5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x)$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\sin (0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

解题步骤 8.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cdot \sec (5 \cdot 0)$

解题步骤 8.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$0 \cdot \sec (0)$

解题步骤 8.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 8.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

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