微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

解题步骤 1.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

解题步骤 3.4

用 $\sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

解题步骤 4.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sec^{2} (0)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1^{2}$

解题步骤 6.2

一的任意次幂都为一。

$1$

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