微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{(x + \sin (x))}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.4.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{(x + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $1 + \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

解题步骤 2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 + \cos (0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + 1$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

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