微积分学示例

lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 1.2

将极限移入根号内。

\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 1.3

将极限移到绝对值符号内。

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 1.4

将极限移入指数中。

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 2

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

解题步骤 3

考虑左极限。

lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ 在

x

$x$ 从左边趋于

0

$0$ 时的趋势。

\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

解题步骤 5

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，函数值趋于

0

$0$ 。因此，

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ 在

x

$x$ 从左边趋于

0

$0$ 时的极限为

0

$0$ 。

0

$0$

解题步骤 6

考虑右极限。

lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的趋势。

\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

解题步骤 8

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，函数值趋于

0

$0$ 。因此，

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的极限为

0

$0$ 。

\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

0

$0$ 之间的距离为

0

$0$ 。

\sqrt{0} \cdot e^{0}

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

解题步骤 9.2

将

0

$0$ 重写为

0^{2}

$0^{2}$ 。

\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

解题步骤 9.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

0 \cdot e^{0}

$0 \cdot e^{0}$

解题步骤 9.4

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

0 \cdot 1

$0 \cdot 1$

解题步骤 9.5

将

0

$0$ 乘以

1

$1$ 。

0

$0$

0

$0$

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