微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (3 x)}{\csc (3 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (3 x)}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\cot (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \sin (3 x)$

解题步骤 1.4

将 $\sin (3 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{1}$

解题步骤 1.5

约去 $\sin (3 x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{1}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

解题步骤 2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (3 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (3 \cdot 0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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