微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{5 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5 \sin (0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $5 \sin (2 x) - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{5 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.3.7

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

解题步骤 1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

解题步骤 1.3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

解题步骤 1.3.6.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

解题步骤 1.3.10

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{5 \cos (5 x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 12 + 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.4

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 \cdot 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.5

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 2.8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

解题步骤 2.9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cdot 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 12$ 和 $10$ 相加。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (0)}$

解题步骤 4.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{1}$

解题步骤 4.3

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot - 2$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{5}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2}{5}$

小数形式：

$- 0.4$

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