微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{5}{2 x \csc (5 x)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (5 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (5 x)}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (5 x)}$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (5 x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $x \csc (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (5 x) \\ - 0.1 & 0.20858296 \\ - 0.01 & 0.20008335 \\ - 0.001 & 0.20000083 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.2$ 。因此， $x \csc (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.2$ 。

$0.2$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (5 x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $x \csc (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (5 x) \\ 0.1 & 0.20858296 \\ 0.01 & 0.20008335 \\ 0.001 & 0.20000083 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.2$ 。因此， $x \csc (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.2$ 。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{0.2}$

解题步骤 10

约去 $0.2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

从 $5$ 中分解出因数 $0.2$ 。

$\frac{0.2 (25)}{2} \cdot \frac{1}{0.2}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$\frac{0.2 \cdot 25}{2} \cdot \frac{1}{0.2}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$\frac{25}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{25}{2}$

小数形式：

$12.5$

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