微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{10 x \cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $10 x \cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0} 10 x \cot (x)$

解题步骤 2

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$10 lim_{x \to 0} x \cot (x)$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$10 \cdot 1$

解题步骤 9

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10$

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