微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x \csc (x)}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (x)}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (x)}$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $x \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $x \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 10.1.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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