微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cot (5 x)}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\cot (5 x)}$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\cot (5 x)}$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\frac{x}{\cot (5 x)}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\cot (5 x)} \\ - 0.1 & 0.05463024 \\ - 0.01 & 0.00050041 \\ - 0.001 & 0.000005 \\ - 0.0001 & 0.00000005 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\frac{x}{\cot (5 x)}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cot (5 x)}$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\frac{x}{\cot (5 x)}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x}{\cot (5 x)} \\ 0.1 & 0.05463024 \\ 0.01 & 0.00050041 \\ 0.001 & 0.000005 \\ 0.0001 & 0.00000005 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\frac{x}{\cot (5 x)}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$2 \cdot 0$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例