微积分学示例

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $θ$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $θ$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\cos (θ) - 1$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3.3

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- \sin (θ)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

解题步骤 1.3.6

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $θ$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to 0} - \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

解题步骤 2.2

因为项 $- 1$ 对于 $θ$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $θ$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{- \sin (0)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{- \sin (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 0}{\cos (0)}$

解题步骤 4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 0}{1}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 4.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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