微积分学示例

$lim_{x \to 0} x \cos (2 x) \csc (2 x)$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cos (2 x) \csc (2 x)$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $x \cos (2 x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cos (2 x) \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \cos (2 x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$0.5$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cos (2 x) \csc (2 x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $x \cos (2 x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cos (2 x) \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \cos (2 x) \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$0.5$

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