微积分学示例

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $(x^{2}) \csc^{2} (x)$ 重写为 $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3

计算左极限。

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解题步骤 3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3.1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3.1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

解题步骤 3.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 3.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 3.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 3.1.3.3.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 3.1.3.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 3.1.3.6

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

解题步骤 3.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

解题步骤 3.1.3.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 3.1.3.9

化简。

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解题步骤 3.1.3.9.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

解题步骤 3.1.3.9.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 3.1.3.9.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.1.3.9.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.9.4.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.1.3.9.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 3.1.3.9.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.1.3.9.5

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 3.2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.2.1.2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 3.2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 3.2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.2.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 3.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 3.2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 3.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 3.2.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.2.3.5.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.2.3.5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.2.3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 3.2.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

解题步骤 3.2.3.9

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 3.2.5

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

解题步骤 3.2.6

计算极限值。

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解题步骤 3.2.6.1

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

解题步骤 3.2.6.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

解题步骤 3.2.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sec (2 \cdot 0)$

解题步骤 3.2.8

化简答案。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 3.2.8.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 5

计算右极限。

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解题步骤 5.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 5.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 5.1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 5.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

解题步骤 5.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 5.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 5.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 5.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 5.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 5.1.3.3.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 5.1.3.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 5.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 5.1.3.6

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

解题步骤 5.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

解题步骤 5.1.3.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 5.1.3.9

化简。

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解题步骤 5.1.3.9.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

解题步骤 5.1.3.9.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 5.1.3.9.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3.9.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.9.4.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3.9.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 5.1.3.9.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.1.3.9.5

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 5.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 5.2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.2.1.2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 5.2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 5.2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 5.2.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 5.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 5.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 5.2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 5.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 5.2.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 5.2.3.5.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 5.2.3.5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 5.2.3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 5.2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 5.2.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.9

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 5.2.5

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

解题步骤 5.2.6

计算极限值。

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解题步骤 5.2.6.1

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

解题步骤 5.2.6.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

解题步骤 5.2.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sec (2 \cdot 0)$

解题步骤 5.2.8

化简答案。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 5.2.8.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

因为左极限等于右极限，所以极限等于 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

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