微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 3}{4 x^{3} + 2 x + 1}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{3}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{3}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{2}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$

解题步骤 7

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$ 趋于无穷大。

$\infty$

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