微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 2 x + 3}{5 - 2 x^{2}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} - 2}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{2}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5}{x^{2}} - 2}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{3}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{\frac{5}{x^{2}} - 2}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{5}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{0 - 2}$

解题步骤 6

由于其分子为无穷，而分母趋于常数，因此该分式 $\frac{x - 0 + 0}{0 - 2}$ 趋于负无穷。

$- \infty$

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