微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 2 t$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

解题步骤 7

组合 $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 2 t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算极限值。

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解题步骤 9.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

解题步骤 9.1.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

解题步骤 9.1.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 9.2

因为指数 $- 2 t$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 2 t}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 9.3

计算极限值。

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解题步骤 9.3.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.2

化简答案。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

解题步骤 9.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 9.3.2.3

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 9.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 9.3.2.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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