微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.9

组合 $\frac{1}{2 x - 1}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.10

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{2}{2 x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{2 - 1}$

解题步骤 4.1.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

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