微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

解题步骤 1.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

解题步骤 2

由于 $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 和 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ ，使用迫近定理。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

解题步骤 4.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

解题步骤 4.1.3.1.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

解题步骤 4.1.3.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 4.3.3.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

解题步骤 4.3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

解题步骤 4.3.7

将 $4$ 移到 $\sec^{2} (4 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

解题步骤 5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.4

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (4 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

解题步骤 5.5

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

解题步骤 5.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.3

合并。

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.5

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.5.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.5.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 7.1.5.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.4.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 3}{6}$

解题步骤 7.6

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{6}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{6}$

小数形式：

$0.8\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例