微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

解题步骤 1.1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 1.1.3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

解题步骤 1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

解题步骤 1.3.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{- 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

解题步骤 1.6

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

解题步骤 1.6.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4.1.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

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