微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\tan (2 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $2$ 。因此， $\tan (2 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $2$ 。

$2$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\tan (2 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $2$ 。因此， $\tan (2 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $2$ 。

$2$

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