微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(e^{x - 1} - 1) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(x - 1) (e^{x - 1} - 1)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x - 1) (e^{x - 1} - 1)$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ 的极限值。

$\frac{1 - 1 - (e^{1 - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - (e^{0} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x - 1} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.3

将极限移入指数中。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 2.1.3.7

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.9

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.9.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.9.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.10.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{(e^{1 - 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{(e^{0} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

解题步骤 2.1.3.10.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.10.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.10.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.11

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (e^{x - 1} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.2

根据加法法则， $e^{x - 1} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.3.5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.4

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.9

将 $e^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.10

将 $e^{x - 1}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

解题步骤 2.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x - 1} - 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.12

将 $e^{x - 1} - 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 2.3.13

根据加法法则， $e^{x - 1} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.14

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.3.14.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.14.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.14.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.15

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.17

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.18

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.19

将 $e^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.20

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + 0)}$

解题步骤 2.3.21

将 $e^{x - 1}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) e^{x - 1}}$

解题步骤 2.3.22

化简。

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解题步骤 2.3.22.1

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} (x - 1) + e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 2.3.22.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.22.2.1

运用分配律。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1} \cdot - 1 + e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 2.3.22.2.2

将 $- 1$ 移到 $e^{x - 1}$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1 \cdot e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 2.3.22.2.3

将 $- 1 e^{x - 1}$ 重写为 $- e^{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 2.3.22.3

合并 $e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.22.3.1

将 $- e^{x - 1}$ 和 $e^{x - 1}$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + 0 - 1}$

解题步骤 2.3.22.3.2

将 $e^{x - 1} x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1}$

解题步骤 2.3.22.4

将 $e^{x - 1} x - 1$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将极限移入指数中。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - e^{1 - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.3

将极限移入指数中。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.8.1.1

将 $e^{1 - 1 \cdot 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{e^{1 - 1} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $1 - e^{x - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.4.7

将 $e^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $e^{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $x e^{x - 1} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x \frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 3.3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \cdot 1) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.8

将 $e^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.9

将 $e^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + 0}$

解题步骤 3.3.9

化简。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $x e^{x - 1} + e^{x - 1}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 3.3.9.2

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1}}$

解题步骤 3.3.9.3

将 $e^{x - 1} x + e^{x - 1}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4.3

将极限移入指数中。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

解题步骤 4.6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

解题步骤 4.7

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

解题步骤 4.8

将极限移入指数中。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

解题步骤 4.9

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

解题步骤 4.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

解题步骤 4.11

将极限移入指数中。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1}}$

解题步骤 4.12

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

解题步骤 4.13

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- e^{1 - 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- e^{0}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $e^{1 - 1 \cdot 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{0} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1}}$

解题步骤 6.2.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{0}}$

解题步骤 6.2.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + 1}$

解题步骤 6.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

微积分学 示例

微积分学示例