微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + 1}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 8.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 8.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 8.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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