微积分学示例

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 1$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$lim_{x \to 1} x \cdot {(lim_{x \to 1} \sec (x))}^{2} - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 4

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - {(lim_{x \to 1} \tan (x))}^{2} - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 6

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} 1$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 8

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 8.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 8.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

从 $1 \cdot \sec^{2} (1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

解题步骤 9.2

从 $- \tan^{2} (1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

解题步骤 9.3

从 $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

解题步骤 9.4

使用勾股恒等式。

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 9.5

化简每一项。

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解题步骤 9.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 9.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1$

解题步骤 9.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

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