微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入对数中。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.2.5.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

解题步骤 1.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

解题步骤 1.1.3.1.4

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - x + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.6.2

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $1 + \cos (5 π x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 π x$ 。

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解题步骤 1.3.9.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 π x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 1.3.9.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 1.3.9.1.3

使用 $5 π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 1.3.9.2

因为 $5 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 π x$ 对 $x$ 的导数是 $5 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 1.3.9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.9.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

解题步骤 1.3.9.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

解题步骤 1.3.10

化简。

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解题步骤 1.3.10.1

从 $0$ 中减去 $5 \sin (5 π x) π$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

解题步骤 1.3.10.2

重新排序 $- 5 \sin (5 π x) π$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.4.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.4.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{- 5 π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

解题步骤 2.2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1 - x}{x}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

解题步骤 3.1.3.3

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $\sin (5 π \cdot 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

解题步骤 3.1.3.5.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

解题步骤 3.1.3.5.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.5.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.5.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (5 π x)$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 π x$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 π x$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7.3

使用 $5 π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $5 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 π x$ 对 $x$ 的导数是 $5 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.11

将 $5$ 移到 $\cos (5 π x)$ 的左侧。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.13

将 $\sin (5 π x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

解题步骤 3.3.14

重新排序项。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.2

计算 $- 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.4

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.7

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 4.8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

解题步骤 4.9

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.7

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 6.2.8

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

解题步骤 6.2.9

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

解题步骤 6.2.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

解题步骤 6.2.11

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

解题步骤 6.2.12

将 $- 5 π$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

解题步骤 6.3

将两个负数相除得到一个正数。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

解题步骤 6.4

乘以 $- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{5 π}$ 乘以 $\frac{1}{5 π}$ 。

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

解题步骤 6.4.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{25 π π}$

解题步骤 6.4.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

解题步骤 6.4.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

解题步骤 6.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

小数形式：

$- 0.00405284 \dots$

微积分学 示例

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