微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.1.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} - x$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 1} x$

解题步骤 2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 1$

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