微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 1.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $5^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5^{x} \ln (5)}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{5}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 3.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 3.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $5^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 3.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5^{x} \ln (5)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{4}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 5.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 5.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $5^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 5.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5^{x} \ln (5)}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{3}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 7.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 7.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $5^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 7.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 7.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5^{x} \ln (5)}$

解题步骤 8

因为项 $\frac{2}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}}$

解题步骤 9

运用洛必达法则。

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解题步骤 9.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 9.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 9.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

解题步骤 9.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $5^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 9.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 9.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

解题步骤 9.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} \ln (5)}$

解题步骤 10

因为项 $\frac{1}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x}}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{5^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

乘以 $\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将 $\frac{5}{\ln (5)}$ 乘以 $\frac{4}{\ln (5)}$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.1.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.1.3

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.1.4

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{20}{{\ln (5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{20}{\ln^{2} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.2

合并。

$\frac{20 \cdot 3}{\ln^{2} (5) \ln (5)} \cdot \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.3

合并。

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.4

合并。

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.5

化简分子。

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解题步骤 12.5.1

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{60 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.5.2

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$\frac{120 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.5.3

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6

化简分母。

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解题步骤 12.6.1

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln^{1} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{120}{{\ln (5)}^{2 + 1} \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.4

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{120}{{\ln (5)}^{3 + 1} \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.7

通过指数相加将 $\ln^{4} (5)$ 乘以 $\ln (5)$ 。

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解题步骤 12.6.7.1

将 $\ln^{4} (5)$ 乘以 $\ln (5)$ 。

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解题步骤 12.6.7.1.1

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln^{1} (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.6.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{120}{{\ln (5)}^{4 + 1}} \cdot 0$

解题步骤 12.6.7.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{120}{\ln^{5} (5)} \cdot 0$

解题步骤 12.7

将 $\frac{120}{\ln^{5} (5)}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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