微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{| x - 1 |}{1 - x}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 1^{-}} \frac{| x - 1 |}{1 - x}$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\frac{| x - 1 |}{1 - x}$ 在 $x$ 从左边趋于 $1$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{| x - 1 |}{1 - x} \\ 0.9 & 1 \\ 0.99 & 1 \\ 0.999 & 1 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\frac{| x - 1 |}{1 - x}$ 在 $x$ 从左边趋于 $1$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{| x - 1 |}{1 - x}$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\frac{| x - 1 |}{1 - x}$ 在 $x$ 从右边趋于 $1$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{| x - 1 |}{1 - x} \\ 1.1 & - 1 \\ 1.01 & - 1 \\ 1.001 & - 1 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，函数值趋于 $- 1$ 。因此， $\frac{| x - 1 |}{1 - x}$ 在 $x$ 从右边趋于 $1$ 时的极限为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例