微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{3}{x^{3} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 1) (x^{3} - 1)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{3}{x^{3} - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x^{3} - 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x^{3} - 1) (x - 1)$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.5

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{3} - 1 - 3 (x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 (x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x - 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.6

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

解题步骤 2.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{3} - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.8

根据加法法则， $x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.11

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.12

将 $3$ 移到 $x - 1$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 \cdot (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 2.3.13

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

解题步骤 2.3.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.16

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.17

将 $x^{3} - 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18

化简。

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解题步骤 2.3.18.1

运用分配律。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.2

运用分配律。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3

合并项。

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解题步骤 2.3.18.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.18.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.18.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 1}$

解题步骤 2.3.18.3.3

将 $3 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.8.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

解题步骤 3.1.3.8.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.8.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.5

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

解题步骤 3.3.10

将 $12 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

解题步骤 4.4

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

解题步骤 4.6

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

一的任意次幂都为一。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{1}{12 - 6}$

解题步骤 6.1.4

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$6 (\frac{1}{6})$

解题步骤 6.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$6 (\frac{1}{6})$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例