微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2}}{4 x + 6 x^{3}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 2.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 2.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

解题步骤 4.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 6}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

约去 $- 3 + 4 \cdot 0$ 和 $4 \cdot 0 + 6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

重新排序项。

$\frac{- 3 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1) + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $0 \cdot 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 6.2.1.4

从 $3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

解题步骤 6.2.1.5

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1.5.1

从 $4 \cdot 0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 6}$

解题步骤 6.2.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 3 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.1.5.3

从 $3 (4 \cdot 0) + 3 (2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 6.2.1.5.4

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

解题步骤 6.2.1.5.5

重写表达式。

$\frac{- 1 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 1 + 0}{4 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1}{4 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 6.2.3

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1}{0 + 2}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

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