微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - 1}{1 - 0}$

解题步骤 6.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1}{1 - 0}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1}{1 + 0}$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 6.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

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