微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{F (x^{2} - 4)}{| x + 2 |}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{F (x^{2} - 4)}{| x + 2 |}$

解题步骤 2

计算左极限。

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解题步骤 2.1

因为项 $F$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$F lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$

解题步骤 2.2

制作一个表格展示函数 $\frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $- 2$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |} \\ - 2.1 & 4.1 \\ - 2.01 & 4.01 \\ - 2.001 & 4.001 \\ - 2.0001 & 4.0001 \\ - 2.00001 & 4.00001 \end{array}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，函数值趋于 $4$ 。因此， $\frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $- 2$ 时的极限为 $4$ 。

$F \cdot 4$

解题步骤 2.4

将 $4$ 移到 $F$ 的左侧。

$4 F$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{F (x^{2} - 4)}{| x + 2 |}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

因为项 $F$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$F lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$

解题步骤 4.2

制作一个表格展示函数 $\frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $- 2$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |} \\ - 1.9 & - 3.9 \\ - 1.99 & - 3.99 \\ - 1.999 & - 3.999 \\ - 1.9999 & - 3.9999 \\ - 1.99999 & - 3.99999 \end{array}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，函数值趋于 $- 4$ 。因此， $\frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $- 2$ 时的极限为 $- 4$ 。

$F \cdot - 4$

解题步骤 4.4

将 $- 4$ 移到 $F$ 的左侧。

$- 4 F$

解题步骤 5

Since the left-sided limit is not equal to the right-sided limit, the limit does not exist.

$不存在$

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