微积分学示例

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 2$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $3$ 移到 $2 x + 1$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12

化简表达式。

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解题步骤 1.2.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

合并 $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

按照 $3 (2 x)$ 和 $- 2 (3 x)$ 重新排列因数。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2

从 $2 \cdot 3 x$ 中减去 $2 \cdot 3 x$ 。

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $3 \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 重写为 ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

解题步骤 2.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 28$ 和 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $- 28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ 。

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ 重写为 ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 28$ 。

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 3.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

解题步骤 3.3.7.2

将 $2$ 乘以 $84$ 。

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.4.2

组合 $168$ 和 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ 。

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $168$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ 。

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ 重写为 ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 4.2.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 4$ 乘以 $168$ 。

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

解题步骤 4.3.7

化简表达式。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

解题步骤 4.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 672$ 。

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $- 1344$ 和 $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

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