微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

解题步骤 9

计算 $5 y^{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

解题步骤 10

计算 $5 y$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

解题步骤 11

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 12

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 12.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 12.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 12.4

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.5

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.6

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.1.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{3}$ 。

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解题步骤 13.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{3}$ 。

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解题步骤 13.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.2.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

解题步骤 13.2.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

解题步骤 13.2.4

从 $16$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

解题步骤 13.2.5

以因式分解的形式重写 $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ 。

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解题步骤 13.2.5.1

从 $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.1

从 $- 5 y^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

解题步骤 13.2.5.1.2

从 $5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

解题步骤 13.2.5.1.3

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.5.1.4

从 $5 (- y^{2}) + 5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.5.1.5

从 $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

解题步骤 13.2.5.2

分组因式分解。

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解题步骤 13.2.5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 13.2.5.2.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

解题步骤 13.2.5.2.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

解题步骤 13.2.5.2.1.3

运用分配律。

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

解题步骤 13.2.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 13.2.5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

解题步骤 13.2.5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

解题步骤 13.2.5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- y - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 13.3

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $5 (- y - 1) (y - 2)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

解题步骤 13.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

解题步骤 13.3.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 13.4

用 $0$ 除以 $(- y - 1) (y - 2)$ 。

$0$

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