微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 - x) (2 + x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

解题步骤 1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

解题步骤 1.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

解题步骤 1.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 3.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 5.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

化简答案。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{0 - 1}$

解题步骤 7.2.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.2.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$- 2$

微积分学 示例

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