微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot 13 x + lim_{x \to - 2} 14}$

解题步骤 7

因为项 $3 \cdot 13$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

解题步骤 10

计算 $14$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

解题步骤 11

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

解题步骤 11.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

解题步骤 11.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

解题步骤 11.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - - 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{\sqrt[3]{- 8 + 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.1.4

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{0}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.1.5

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{0^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.1.6

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

通过指数相加将 ${(- 2)}^{2}$ 乘以 $- 2$ 。

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解题步骤 12.2.1.1

移动 $- 2$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 13 (- 2 {(- 2)}^{2}) + 14}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 12.2.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{3 \cdot 13 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) + 14}$

解题步骤 12.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{1 + 2} + 14}$

解题步骤 12.2.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{3} + 14}$

解题步骤 12.2.2

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$\frac{0}{39 {(- 2)}^{3} + 14}$

解题步骤 12.2.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{39 \cdot - 8 + 14}$

解题步骤 12.2.4

将 $39$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{0}{- 312 + 14}$

解题步骤 12.2.5

将 $- 312$ 和 $14$ 相加。

$\frac{0}{- 298}$

解题步骤 12.3

用 $0$ 除以 $- 298$ 。

$0$

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