微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{\sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (π x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} \sin (π x))}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 2} π x)}$

解题步骤 1.1.3.1.3

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin^{2} (π lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin^{2} (π \cdot 2)}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{0}{\sin^{2} (2 \cdot π)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

解题步骤 1.1.3.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{\sin^{2} (π x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

解题步骤 1.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (π x)$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (π x)$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 1.3.7.3

使用 $\sin (π x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 1.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])}$

解题步骤 1.3.8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])}$

解题步骤 1.3.8.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

解题步骤 1.3.9

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.11

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) π}$

解题步骤 1.3.12

化简。

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解题步骤 1.3.12.1

重新排序 $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ 的因式。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 π \cos (π x) \sin (π x)}$

解题步骤 1.3.12.2

添加圆括号。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 π (\cos (π x) \sin (π x))}$

解题步骤 1.3.12.3

将 $2 π$ 和 $\cos (π x) \sin (π x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\cos (π x) \sin (π x) (2 π)}$

解题步骤 1.3.12.4

添加圆括号。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π}$

解题步骤 1.3.12.5

将 $\cos (π x)$ 和 $\sin (π x) \cdot 2$ 重新排序。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π}$

解题步骤 1.3.12.6

将 $\sin (π x)$ 和 $2$ 重新排序。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π}$

解题步骤 1.3.12.7

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 (π x)) π}$

解题步骤 1.3.12.8

将 $\sin (2 π x) π$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{π \sin (2 π x)}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 π x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.1.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 2} 2 π x)}$

解题步骤 3.1.3.1.2

因为项 $2 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (2 π lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (4 π)}$

解题步骤 3.1.3.3.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 π x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

解题步骤 3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 π x$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 π x$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 π x]}$

解题步骤 3.3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 π x]}$

解题步骤 3.3.6.3

使用 $2 π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]}$

解题步骤 3.3.7

因为 $2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 π x$ 对 $x$ 的导数是 $2 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π \cdot 1}$

解题步骤 3.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 移到 $\cos (2 π x)$ 的左侧。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 \cdot \cos (2 π x) π}$

解题步骤 3.3.11

重新排序 $2 \cos (2 π x) π$ 的因式。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 π \cos (2 π x)}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 π \cos (2 π x)}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{1}{π \cos (2 π x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $\frac{1}{π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{1}{\cos (2 π x)}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \cos (2 π x)}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{lim_{x \to 2} \cos (2 π x)}$

解题步骤 4.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 2} 2 π x)}$

解题步骤 4.5

因为项 $2 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (2 π lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 5

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

乘以 $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{1}{π}$ 。

$\frac{1}{π π} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.1.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{π^{1} π} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.1.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{π^{1} π^{1}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{π^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{π^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.2

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{π^{2} \cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π^{2} \cos (2 π \cdot 2)}$

解题步骤 6.4

化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{π^{2} \cos (4 π)}$

解题步骤 6.4.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{π^{2} \cos (0)}$

解题步骤 6.4.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{π^{2} \cdot 1}$

解题步骤 6.5

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π^{2}}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{π^{2}}$

小数形式：

$0.10132118 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例