微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 11}{x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 5

计算 $11$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8 x^{2} + 19}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8 x^{2} + lim_{x \to 2} 19}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8 x^{2} + lim_{x \to 2} 19}$

解题步骤 8

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 8 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 19}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 19}$

解题步骤 10

计算 $19$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 19}$

解题步骤 11

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 19}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 11}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 19}$

解题步骤 11.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 11}{2^{3} - 8 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 19}$

解题步骤 11.4

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 11}{2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 11}{2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 8 + 11}{2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 4 + 11}{2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12.1.4

将 $- 4$ 和 $11$ 相加。

$\frac{7}{2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{7}{8 - 8 \cdot 2^{2} + 19}$

解题步骤 12.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{7}{8 - 8 \cdot 4 + 19}$

解题步骤 12.2.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{7}{8 - 32 + 19}$

解题步骤 12.2.4

从 $8$ 中减去 $32$ 。

$\frac{7}{- 24 + 19}$

解题步骤 12.2.5

将 $- 24$ 和 $19$ 相加。

$\frac{7}{- 5}$

解题步骤 12.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7}{5}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{7}{5}$

小数形式：

$- 1.4$

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