微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x - 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 2) (x^{2} - 2 x)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x - 2}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x^{2} - 2 x) (x - 2)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x^{2} - 2 x) (x - 2)$ 的因式。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.4

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 - x^{2} + 2 x \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.5

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.9

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.10

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.11

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.4

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.5

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.12.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.12.1.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 4 - (2 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.4

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4 - 4 - (- 2 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.5

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 - 4 - 1 \cdot 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.8

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.9

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

解题步骤 2.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

解题步骤 2.1.3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

解题步骤 2.1.3.7.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 2 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

解题步骤 2.1.3.8.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 - x^{2} + 2 x$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.6

根据加法法则， $2 - x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \cdot 1 + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.13

将 $2 - x^{2} + 2 x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.15

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.5.16

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.2

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.3

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.4

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.5

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6

合并项。

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解题步骤 2.3.6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 1 x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{1 + 1}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{2}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.10

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.11

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.12

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.14

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.15

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.16

从 $- 4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.17

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.18

从 $- 2 x$ 中减去 $6 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.19

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.20

从 $2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x - 2 + 3 x^{2} + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.21

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.6.22

将 $- 6 x + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.6.7

重新排序项。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

解题步骤 2.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.8

根据加法法则， $x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.12

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 2.3.13

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

解题步骤 2.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

解题步骤 2.3.15

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.16

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.17

将 $x^{2} - 2 x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18

化简。

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解题步骤 2.3.18.1

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.2

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.3

运用分配律。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4

合并项。

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解题步骤 2.3.18.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.6

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.8

从 $- 4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 6 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 6 x + 4 - 2 x}$

解题步骤 2.3.18.4.10

从 $- 6 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 \cdot 4 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.6.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.6.1.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.2.6.2

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 3.1.3.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.6

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.6.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 4}$

解题步骤 3.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4}$

解题步骤 3.1.3.7.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{12 - 8 \cdot 2 + 4}$

解题步骤 3.1.3.7.1.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{12 - 16 + 4}$

解题步骤 3.1.3.7.2

从 $12$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

解题步骤 3.1.3.7.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 x^{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $3 x^{2} - 8 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.6

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.6.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + 0}$

解题步骤 3.3.9

将 $6 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8}$

解题步骤 3.4

约去 $6 x - 6$ 和 $6 x - 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) - 6}{6 x - 8}$

解题步骤 3.4.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) + 2 (- 3)}{6 x - 8}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 (3 x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{6 x - 8}$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) - 8}$

解题步骤 3.4.4.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) + 2 (- 4)}$

解题步骤 3.4.4.3

从 $2 (3 x) + 2 (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

解题步骤 3.4.4.4

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

解题步骤 3.4.4.5

重写表达式。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 3}{3 x - 4}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

解题步骤 4.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

解题步骤 4.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

解题步骤 4.5

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 4.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

解题步骤 4.7

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 - 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{6 - 4}$

解题步骤 6.2.3

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

微积分学 示例

微积分学示例