微积分学示例

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} - 5$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5$

解题步骤 9

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 10

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 10.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 10.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 10.4

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{5}$ 。

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解题步骤 11.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{5}$ 。

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解题步骤 11.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.1.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.2

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$64 - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$64 - 2 \cdot 16 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.4

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$64 - 32 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 32 + 4 \cdot 8 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.6

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$64 - 32 + 32 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 32 + 32 + 4 - 1 \cdot 5$

解题步骤 11.1.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$64 - 32 + 32 + 4 - 5$

解题步骤 11.2

从 $64$ 中减去 $32$ 。

$32 + 32 + 4 - 5$

解题步骤 11.3

将 $32$ 和 $32$ 相加。

$64 + 4 - 5$

解题步骤 11.4

将 $64$ 和 $4$ 相加。

$68 - 5$

解题步骤 11.5

从 $68$ 中减去 $5$ 。

$63$

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