微积分学示例

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $\sin (2 x)$ 。

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

解题步骤 1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.1

使用正弦倍角公式。

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

对 $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

从 $- 4 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.3.1.2

从 $- 2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

解题步骤 1.2.3.1.3

从 $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

解题步骤 1.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

解题步骤 1.2.5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 1.2.5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 1.2.5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.6

将 $- 2 - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 2 - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 - \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.6.2

求解 $x$ 的 $- 2 - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$- \cos (x) = 2$

解题步骤 1.2.6.2.2

将 $- \cos (x) = 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

将 $- \cos (x) = 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = - 2$

解题步骤 1.2.6.2.3

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 2$ 不在值域中，所以无解。

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

当 $x = π n$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $π n$ 替换 $x$ 。

$y = \sin (2 (π n))$

解题步骤 1.3.2

去掉圆括号。

$y = \sin (2 π n)$

解题步骤 1.4

列出所有解。

$y = \sin (2 π n), x = π n$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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