微积分学示例

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\ln (x) = x^{2} - 2$

解题步骤 1.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

解题步骤 1.3

当 $x = 0.13793482$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0.13793482$ 替换 $x$ 。

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

解题步骤 1.3.2

将 $0.13793482$ 代入 $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

解题步骤 1.3.2.2

去掉圆括号。

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

解题步骤 1.3.2.3

化简 ${(0.13793482)}^{2} - 2$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

对 $0.13793482$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 0.01902601 - 2$

解题步骤 1.3.2.3.2

从 $0.01902601$ 中减去 $2$ 。

$y = - 1.98097398$

解题步骤 1.4

当 $x = 1.56446225$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $1.56446225$ 替换 $x$ 。

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

解题步骤 1.4.2

将 $1.56446225$ 代入 $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

解题步骤 1.4.2.2

去掉圆括号。

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

解题步骤 1.4.2.3

化简 ${(1.56446225)}^{2} - 2$ 。

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解题步骤 1.4.2.3.1

对 $1.56446225$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 2.44754216 - 2$

解题步骤 1.4.2.3.2

从 $2.44754216$ 中减去 $2$ 。

$y = 0.44754216$

解题步骤 1.5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

解题步骤 3

用积分求 $0.13793482$ 和 $1.56446225$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

约去公因数。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.5.2.2

重写表达式。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.6

应用常数不变法则。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

解题步骤 3.10

应用常数不变法则。

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

解题步骤 3.11

化简答案。

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解题步骤 3.11.1

组合 $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ 和 $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ 。

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

解题步骤 3.11.2

代入并化简。

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解题步骤 3.11.2.1

计算 $\ln (x) x + 2 x$ 在 $1.56446225$ 处和在 $0.13793482$ 处的值。

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

解题步骤 3.11.2.2

计算 $x$ 在 $1.56446225$ 处和在 $0.13793482$ 处的值。

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

解题步骤 3.11.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1.56446225$ 处和在 $0.13793482$ 处的值。

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4

化简。

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解题步骤 3.11.2.4.1

将 $\ln (1.56446225)$ 乘以 $1.56446225$ 。

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1.56446225$ 。

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.3

将 $0.70016281$ 和 $3.12892451$ 相加。

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.4

将 $\ln (0.13793482)$ 乘以 $0.13793482$ 。

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.5

将 $2$ 乘以 $0.13793482$ 。

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.6

将 $- 0.2732453$ 和 $0.27586965$ 相加。

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $0.00262435$ 。

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.8

从 $3.82908733$ 中减去 $0.00262435$ 。

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.9

从 $1.56446225$ 中减去 $0.13793482$ 。

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.10

将 $- 1$ 乘以 $1.42652743$ 。

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.11

从 $3.82646298$ 中减去 $1.42652743$ 。

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.12

对 $1.56446225$ 进行 $3$ 次方运算。

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.13

对 $0.13793482$ 进行 $3$ 次方运算。

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

解题步骤 3.11.2.4.14

在公分母上合并分子。

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.15

从 $3.82908733$ 中减去 $0.00262435$ 。

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.16

要将 $2.39993555$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.17

组合 $2.39993555$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.18

在公分母上合并分子。

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.19

将 $2.39993555$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

解题步骤 3.11.2.4.20

从 $7.19980666$ 中减去 $3.82646298$ 。

$\frac{3.37334367}{3}$

解题步骤 3.12

用 $3.37334367$ 除以 $3$ 。

$1.12444789$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例