微积分学示例

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\cos (11 x) = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\cos (11 x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$11 x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$11 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

将 $11 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $11$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $11 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $11$ 。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

解题步骤 1.2.3.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{11}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{π}{22}$

解题步骤 1.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

化简。

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解题步骤 1.2.5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5.1.3

在公分母上合并分子。

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.5.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.5.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$11 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $11 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $11$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将 $11 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $11$ 。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{11}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{3 π}{22}$

解题步骤 1.2.6

求 $\cos (11 x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.6.2

使用周期公式中的 $11$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 11 |}$

解题步骤 1.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $11$ 之间的距离为 $11$ 。

$\frac{2 π}{11}$

解题步骤 1.2.7

$\cos (11 x)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{11}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{11}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

合并答案。

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

代入 $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

列出所有解。

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

解题步骤 3

用积分求 $\frac{π}{22}$ 和 $\frac{π}{11}$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

解题步骤 3.2

从 $0$ 中减去 $\cos (11 x)$ 。

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

解题步骤 3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

解题步骤 3.4

使 $u = 11 x$ 。然后使 $d u = 11 d x$ ，以便 $\frac{1}{11} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.4.1

设 $u = 11 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $11 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [11 x]$

解题步骤 3.4.1.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$11 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$11 \cdot 1$

解题步骤 3.4.1.4

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$11$

解题步骤 3.4.2

将下限代入替换 $u = 11 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

解题步骤 3.4.3

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $22$ 中分解出因数 $11$ 。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.4

将上限代入替换 $u = 11 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

解题步骤 3.4.5

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

解题步骤 3.4.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 3.4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

解题步骤 3.4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

解题步骤 3.5

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{11}$ 。

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

解题步骤 3.6

由于 $\frac{1}{11}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{11}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

解题步骤 3.7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

解题步骤 3.8

计算 $\sin (u)$ 在 $π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

解题步骤 3.10.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

解题步骤 3.10.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

解题步骤 3.10.3

乘以 $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{11})$

解题步骤 3.10.3.2

将 $\frac{1}{11}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{11}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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