微积分学示例

$y = x^{6}$ , $y = 8 x^{3}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{6} = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{6} = 8 x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $8 x^{3}$ 。

$x^{6} - 8 x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.2.2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$u^{2} - 8 u = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $u^{2} - 8 u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.3.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - 8 u = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

从 $- 8 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2.3.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 8$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 8) = 0$

解题步骤 1.2.2.4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (x^{3} - 8) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$x^{3} - 8 = 0 + y = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.2.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x^{3} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

将 $x^{3} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 8 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{3} - 8 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{3} = 8$

解题步骤 1.2.5.2.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{3} - 8 = 0$

解题步骤 1.2.5.2.3

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.5.2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.3.3.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.5.2.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.5.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2.5.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.5.2.6

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.1

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.7

最终解为使 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $x^{3} (x^{3} - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 8 {(0)}^{3}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $y = 8 {(0)}^{3}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = 8 \cdot 0^{3}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $8 \cdot 0^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 8 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2.2.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = 2$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = 8 {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 代入 $y = 8 {(2)}^{3}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = 8 \cdot 2^{3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简 $8 \cdot 2^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8 \cdot 8$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$y = 64$

解题步骤 1.5

列出所有解。

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例