微积分学示例

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ , $y = 19 x + 52$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $19 x$ 。

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x = 52$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $52$ 。

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52 = 0$

解题步骤 1.2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.3.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.3.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.4

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 8 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.5

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$9 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 + 24 \cdot 1 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.7

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$9 + 24 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.8

将 $9$ 和 $24$ 相加。

$33 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.9

将 $- 19$ 乘以 $- 1$ 。

$33 + 19 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.10

将 $33$ 和 $19$ 相加。

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.3.11

从 $52$ 中减去 $52$ 。

$0 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52}{x + 1} + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.5

用 $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 1.2.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + x^{3}$ 中的所有符号

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

解题步骤 1.2.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$

解题步骤 1.2.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 9 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 x^{3} - 9 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

解题步骤 1.2.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $33 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

解题步骤 1.2.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

解题步骤 1.2.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $33 x^{2} + 33 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

解题步骤 1.2.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

解题步骤 1.2.3.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 52 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					+	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
							+	$33 x^{2}$	-	$19 x$
							-	$33 x^{2}$	-	$33 x$
									-	$52 x$	-	$52$
									-	$52 x$	-	$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 52 x - 52$ 中的所有符号

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

$0$

解题步骤 1.2.3.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.1.6

将 $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52) = 0$

解题步骤 1.2.3.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.3.2.1.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 9 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.4

将 $- 9$ 乘以 $16$ 。

$64 - 144 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.5

从 $64$ 中减去 $144$ 。

$- 80 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.6

将 $33$ 乘以 $4$ 。

$- 80 + 132 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.7

将 $- 80$ 和 $132$ 相加。

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.3.8

从 $52$ 中减去 $52$ 。

$0 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52}{x - 4} + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5

用 $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x^{2} + 20 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $13 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							+	$13 x$	-	$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $13 x - 52$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$
										$0$

解题步骤 1.2.3.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 5 x + 13 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.3.2.1.6

将 $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) ((x - 4) (x^{2} - 5 x + 13)) = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$

解题步骤 1.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 13 = 0 + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.7

将 $x^{2} - 5 x + 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $x^{2} - 5 x + 13$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 5 x + 13 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 5 x + 13 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 5$ 和 $c = 13$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1} + y = 19 x + 52$

解题步骤 1.2.7.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.3

从 $25$ 中减去 $52$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.3

从 $25$ 中减去 $52$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.3

从 $25$ 中减去 $52$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 4, \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.3

当 $x = - 1$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$y = 19 (- 1) + 52$

解题步骤 1.3.2

化简 $19 (- 1) + 52$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 19 + 52$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 19$ 和 $52$ 相加。

$y = 33$

解题步骤 1.4

当 $x = 4$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = 19 (4) + 52$

解题步骤 1.4.2

化简 $19 (4) + 52$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $19$ 乘以 $4$ 。

$y = 76 + 52$

解题步骤 1.4.2.2

将 $76$ 和 $52$ 相加。

$y = 128$

解题步骤 1.5

当 $x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1

代入 $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ 代入 $y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $19$ 乘以 $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

解题步骤 1.5.2.2

化简 $19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1

组合 $19$ 和 $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

解题步骤 1.5.2.2.2

要将 $52$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.5.2.2.3

组合 $52$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.5.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.6

当 $x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.6.1

代入 $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ 代入 $y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $19$ 乘以 $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

解题步骤 1.6.2.2

化简 $19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ 。

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解题步骤 1.6.2.2.1

组合 $19$ 和 $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

解题步骤 1.6.2.2.2

要将 $52$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.6.2.2.3

组合 $52$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.6.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.7

列出所有解。

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例