微积分学示例

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

通过对两个指数乘以最小公倍数消去分数指数。

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.2.2.2

重写表达式。

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

对 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.2.1

约去公因数。

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

重写表达式。

$x^{4} = 8 x^{1}$

解题步骤 1.2.3.4

化简。

$x^{4} = 8 x$

解题步骤 1.2.4

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$x^{4} - 8 x = 0$

解题步骤 1.2.5

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

从 $x^{4} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

解题步骤 1.2.5.1.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

解题步骤 1.2.5.1.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{3} - 8) = 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

解题步骤 1.2.5.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.5.4

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.4.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.4.1.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.5.4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

解题步骤 1.2.5.4.2

去掉多余的括号。

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.7

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.9

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.1

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.9.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.9.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.9.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.9.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.9.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.9.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.9.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.9.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.9.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.9.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.9.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.9.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.10

最终解为使 $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.2.2.1

约去公因数。

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 1.3.2.2.2.2

重写表达式。

$y = 2 \cdot 0^{1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

计算指数。

$y = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = 2$ 时计算 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 代入 $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.4.2.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 1.5

代入 $- 1 + i \sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.6

代入 $- 1 - i \sqrt{3}$ 替换 $x$ 。

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.7

列出所有解。

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例