微积分学示例

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

通过对两个指数乘以最小公倍数消去分数指数。

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.2.2.2

重写表达式。

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $7 x^{\frac{1}{8}}$ 运用乘积法则。

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.3.2

对 $7$ 进行 $8$ 次方运算。

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

解题步骤 1.2.3.3.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

约去公因数。

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

重写表达式。

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

解题步骤 1.2.3.4

化简。

$x^{9} = 5764801 x$

解题步骤 1.2.4

从等式两边同时减去 $5764801 x$ 。

$x^{9} - 5764801 x = 0$

解题步骤 1.2.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.5.1

从 $x^{9} - 5764801 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1.1

从 $x^{9}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

解题步骤 1.2.5.1.2

从 $- 5764801 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

解题步骤 1.2.5.1.3

从 $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

解题步骤 1.2.5.3

将 $5764801$ 重写为 $2401^{2}$ 。

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{4}$ 和 $b = 2401$ 。

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

解题步骤 1.2.5.5

因数。

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解题步骤 1.2.5.5.1

化简。

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解题步骤 1.2.5.5.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.2

将 $2401$ 重写为 $49^{2}$ 。

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 49$ 。

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.4

因数。

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解题步骤 1.2.5.5.1.4.1

化简。

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解题步骤 1.2.5.5.1.4.1.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.4.1.2

因数。

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解题步骤 1.2.5.5.1.4.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 7$ 。

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.4.1.2.2

去掉多余的括号。

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.4.2

去掉多余的括号。

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.2

去掉多余的括号。

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

解题步骤 1.2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.2.7

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.8

将 $x^{4} + 2401$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $x^{4} + 2401$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 2401 = 0$

解题步骤 1.2.8.2

求解 $x$ 的 $x^{4} + 2401 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.1

从等式两边同时减去 $2401$ 。

$x^{4} = - 2401$

解题步骤 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

解题步骤 1.2.8.2.3

化简 $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.3.1

将 $- 2401$ 重写为 $7^{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.3.1.1

从 $- 2401$ 中分解出因数 $2401$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

解题步骤 1.2.8.2.3.1.2

将 $2401$ 重写为 $7^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.8.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 1.2.8.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.8.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 1.2.8.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 1.2.8.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 1.2.9

将 $x^{2} + 49$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $x^{2} + 49$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 49 = 0$

解题步骤 1.2.9.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 49 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1

从等式两边同时减去 $49$ 。

$x^{2} = - 49$

解题步骤 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

解题步骤 1.2.9.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 49}$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.3.1

将 $- 49$ 重写为 $- 1 (49)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

解题步骤 1.2.9.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (49)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

解题步骤 1.2.9.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

解题步骤 1.2.9.2.3.4

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

解题步骤 1.2.9.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 7$

解题步骤 1.2.9.2.3.6

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 7 i$

解题步骤 1.2.9.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.9.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 7 i$

解题步骤 1.2.9.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 7 i$

解题步骤 1.2.9.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 7 i, - 7 i$

解题步骤 1.2.10

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 1.2.10.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 1.2.11

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 1.2.11.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 1.2.12

最终解为使 $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{8}$ 。

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

约去公因数。

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.3.2.2.2.2

重写表达式。

$y = 7 \cdot 0^{1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

计算指数。

$y = 7 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2.2.4

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $7 \sqrt[4]{- 1}$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2

化简 $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $7 \sqrt[4]{- 1}$ 运用乘积法则。

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

解题步骤 1.4.2.2

通过指数相加将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1

移动 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $7^{\frac{1}{8}}$ 乘以 $7$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

对 $7$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.4.2.2.5

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.5

当 $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1

代入 $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.5.2

对 $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ 运用乘积法则。

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6

当 $x = 7 i$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.6.1

代入 $7 i$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2

化简 $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.6.2.1

对 $7 i$ 运用乘积法则。

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

解题步骤 1.6.2.2

通过指数相加将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.6.2.2.1

移动 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2.2.2

将 $7^{\frac{1}{8}}$ 乘以 $7$ 。

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解题步骤 1.6.2.2.2.1

对 $7$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.6.2.2.5

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.7

当 $x = - 7 i$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.7.1

代入 $- 7 i$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.7.2

对 $- 7 i$ 运用乘积法则。

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.8

代入 $- 7$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9

当 $x = 7$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.9.1

代入 $7$ 替换 $x$ 。

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9.2

将 $7$ 代入 $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.9.2.1

去掉圆括号。

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9.2.2

通过指数相加将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.9.2.2.1

将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{8}}$ 。

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解题步骤 1.9.2.2.1.1

对 $7$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

解题步骤 1.9.2.2.3

在公分母上合并分子。

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

解题步骤 1.9.2.2.4

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

解题步骤 1.10

列出所有解。

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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