微积分学示例

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时， $V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

一的任意次幂都为一。

$V = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 5.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$V = π (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.6

组合 $π$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$V = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{π}{2}$

小数形式：

$V = 1.57079632 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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