微积分学示例

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 2 x^{2}$ 时， $V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

对 $2 x^{2}$ 运用乘积法则。

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 4 x^{4}$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

解题步骤 4

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

解题步骤 6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

解题步骤 6.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

解题步骤 6.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

解题步骤 6.2.2.3

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

解题步骤 6.2.2.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

约去公因数。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.3.2.3

重写表达式。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

解题步骤 6.2.2.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

解题步骤 6.2.2.5

将 $\frac{32}{5}$ 和 $0$ 相加。

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

解题步骤 6.2.2.6

组合 $\frac{32}{5}$ 和 $4$ 。

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

解题步骤 6.2.2.7

将 $32$ 乘以 $4$ 。

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

解题步骤 6.2.2.8

组合 $\frac{128}{5}$ 和 $π$ 。

$V = \frac{128 π}{5}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{128 π}{5}$

小数形式：

$V = 80.42477193 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例